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Ein Sätzchen über algebraische Gleichungen vierten Grades

Dr. Ulrich Brosa, Am Brücker Tor 4, D-35287 Amöneburg


Die Lösungen x1, x2, x3, x4 der Gleichung
x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0
gestatten genau dann die besondere Symmetriebeziehung x1 x3 + x2 x4 = 0 , wenn
  _______
a32-4 a2
 
  ___
-a0
 
= a1
U. Brosa, Criteria for the Applicability of Galois Groups,
Nonlinear Phenomena in Complex System 9 (2006) 183-187.


Die Gleichung vierten Grades wird durch Ferraris Formeln gelöst, die aber schon so kompliziert sind, dass die meisten Profs und Studies bei ihnen ausrasten.

Grundlage der Ferrari-Formeln ist die Gruppe S4 aller Vertauschungen der vier Lösungen x1, x2, x3, x4. Sobald zwischen diesen Lösungen Beziehungen bestehen wie x1 x3 + x2 x4 = 0 , gestatten die Lösungen nur die Vertauschungen einer Untergruppe von S4. Das ermöglicht vereinfachte Lösungsformeln:
x1 =
-a3+   _______
a32-4a2
 

4
+   
 
 


a32-2a2-a3   _______
a32-4a2
 

8
- a1
  _______
a32-4a2
 

x2 =
-a3-   _______
a32-4a2
 

4
+   
 
 


a32-2a2+a3   _______
a32-4a2
 

8
+ a1
  _______
a32-4a2
 

x3 =
-a3+   _______
a32-4a2
 

4
-   
 
 


a32-2a2-a3   _______
a32-4a2
 

8
- a1
  _______
a32-4a2
 

x4 =
-a3-   _______
a32-4a2
 

4
-   
 
 


a32-2a2+a3   _______
a32-4a2
 

8
+ a1
  _______
a32-4a2
 

Die Bedeutung des Sätzchens ist folgende: In den Büchern über Algebra und Gruppen wird endlos schwadroniert, wie sehr man die Lösungen einer Gleichung vereinfachen kann, wenn man erst einmal die Gruppe dieser Gleichung kennt. Ob man aber der Gleichung ansehen kann, welche Gruppe sie gestattet, bleibt im Dunklen. Im günstigsten Fall wird empfohlen, die Gleichung numerisch zu lösen und dann die Gruppe anhand der Lösungen durch Probieren ausfindig zu machen. Damit wird das Problem nicht gelöst, sondern die Gruppentheorie zu einer Spielerei degradiert.

Das obige Sätzchen zeigt: Es ist möglich einer algebraischen Gleichung anzusehen, welche Gruppe zu ihr gehört, und zwar ohne sie zuvor zu lösen.

Es kommt noch dicker. Das Sätzchen gilt uneingeschränkt für komplexe Zahlen. In den meisten modernen Büchern über Algebra und Gruppen wird jedoch behauptet, die Gruppe einer algebraischen Gleichung habe etwas mit einem Grundkörper und seinen Erweiterungen zu tun. Letzlich kommen die Apologeten der Körpertheorie nur zu Stuhle, wenn ihnen eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten vorliegt. Das obige Sätzchen zeigt: Den Körperkult kann man sich sparen. Die Körpertheorie reagiert sich an Unwesentlichem ab, stellt Tautologien als Weisheiten dar und hilft nicht bei der Erschließung neuer Anwendungen.

Richtig ist: Die Gruppentheorie liefert nur ein Skelett, dessen Untersuchung die Gelenke der Lösungen aufzeigt. Will man die Lösungen wirklich ausrechnen, braucht man Muskeln auf dem Skelett, und die bekommt man von der Funktionentheorie .

Lösung einer algebraischen Gleichung bedeutet Berechnung der Umkehrfunktion, die im Allgemeinen vieldeutig ist: x1, x2, x3 und x4 sind die Zweige. Man hat also Riemannsche Blätter auszubreiten und sie so miteinander zu verknüpfen, wie es die Gruppe vorgibt. Das Interesse konzentriert sich auf die Verzweigungspunkte, von denen man sich mit der Körpertheorie überhaupt keinen Begriff machen kann.

Das, was ist hier schreibe, war den führenden Mathematikern gegen 1900 nach Christus bekannt. Danach trat Dekadenz ein. So soll ja auch die Alphabetisierung Europas um 1920 ihr Maximum erreicht haben.

Indessen könnte das obige Sätzchen neu sein. Es kann simpel mit funktionentheoretischen Methoden bewiesen werden. Auch für andere Untergruppen von S3, S4, S5 usw. sind ähnliche Sätze beweisbar, so dass man für große Klassen algebraischer Gleichungen eine Tabelle voller leicht nachprüfbarer Kritieren und vereinfachter Lösungsformeln aufstellen kann.

Trotz heftigster Auseinandersetzungen mit dem Autor empfehle ich ein Buch von Jörg Bewersdorff, das 2006 auch auf Englisch erschienen ist. Bewersdorff präsentiert - ohne zu bluffen - eine Reihe anregender Beispiele.

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